图形学——Transformation
上次博客最后一个主题矩阵，只说了句矩阵可以完成很多转换。而这次就主要来说明各种转换。
所有的转换我们都是通过矩阵和向量完成的。
缩放（Scale）
\[ Scale(s_x,s_y,s_z) = \begin{pmatrix} s_x&0&0\\ 0&s_y&0\\ 0&0&s_z \end{pmatrix} \ Scale^{-1}(s_x,s_y,s_z) = \begin{pmatrix} s_x^{-1}&0&0\\ 0&s_y^{-1}&0\\ 0&0&s_z^{-1} \end{pmatrix} \]
上述中\(s_x,s_y,s_z\)分别为各个坐标轴的缩放倍数。实际的转换过程如下：
\[ \begin{pmatrix} s_x&0&0\\ 0&s_y&0\\ 0&0&s_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_xx\\ s_yy\\ s_zz \end{pmatrix} \]
错切（Shear）
错切可以将一个矩形转换成平行四边形。
\[ Shear(s_x,s_y) = \begin{pmatrix} s_x&a\\ 0&s_y \end{pmatrix} \ Shear^{-1}(s_x,s_y) = \begin{pmatrix} s_x&-a\\ 0&s_y \end{pmatrix} \]
上面式子主要完成的是对于y>0的点前移，y<0的点后移，而各点的y坐标不变。从而产生了错切的感觉。得到的结果：\(y'=y,x'=x+ay\).
旋转（Rotation）
2维空间的旋转变换次序是没有影响的，但是对于三维空间却可能得到不一样的结果。
2D rotation
这里说的旋转是绕着原点旋转。 \[ \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \]
有趣的是：\(R^T R = I\)
3D rotation
3D的rotation相比于2D的要复杂很多。但是实际上我们可以这样去理解：二维的旋转，相当于绕着Z轴旋转，因为z坐标不会变。
因此可以得到绕各个坐标轴旋转的矩阵：
\[ R_z = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0\\ \sin \theta &\cos \theta & 0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]
同样的道理也就可以得到绕x轴与绕y轴的旋转：
\[ R_x = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos \theta & - \sin \theta \\ 0&\sin \theta &\cos \theta \\ \end{pmatrix} \ R_y = \begin{pmatrix} \cos \theta & 0&- \sin \theta \\ 0&1&0\\ \sin \theta &0 &\cos \theta \end{pmatrix} \]
同样的:\(R^TR = I\).
如果我们仔细观察可以发现，3D中R的各个行（列）向量满足一个三维坐标系的要求：单位向量且正交。因此如果我们将旋转矩阵写成下面的形式：
\[ R = \begin{pmatrix} x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v\\ x_w & y_w & z_w \end{pmatrix} \]
则
\[ R_p = \begin{pmatrix} x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v\\ x_w & y_w & z_w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_p\\ y_p\\ z_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{u} \cdot \mathbf{p} \\ \mathbf{v} \cdot \mathbf{p} \\ \mathbf{z} \cdot \mathbf{p} \end{pmatrix} \]
上式最后一项正是\(\mathbf{p}\)在uvw坐标轴下的坐标值。因此旋转的本质实际上是将它映射到另一个坐标系当中了。
对于旋转矩阵如何求逆？因为旋转矩阵是正交矩阵，所有\(R^{-1} = R^T\).
3D旋转是不可交换的。
但是上面的旋转矩阵相对来说比较简单，因为是绕着坐标轴旋转的。那么有没有办法绕着任意一个向量旋转\(\theta\)的公式？
罗德里格旋转(Rodrigues)公式
接下来这个公式就是用来解决上述问题的。假设向量（点）\(b\)绕着单位向量\(\mathbf{a}\)旋转\(\theta\).
\(\mathbf{b}=\mathbf{b}_{∥}+\mathbf{b}_{⊥}\)，分布表示平行与垂直于\(\mathbf{a}\)的分量。很容易知道，\(\mathbf{b}_{∥}\)在旋转过程中是不变的。
\(\mathbf{b}_{∥} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \mathbf{a}\)
\(\mathbf{b}_{⊥} = 1 -\mathbf{b}_{∥}\)
然后我们要考虑到\(\mathbf{b}_{⊥}\)是如何旋转的。实际上它旋转的平面是垂直于\(\mathbf{a}\)与\(\mathbf{b}\)的，容易想到利用叉乘来构造：
\(\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}\)，而且由于叉乘的性质，\(\mathbf{c}\)的长度恰好等于\(\mathbf{b}_{⊥}\).
现在旋转角度是\(\theta\)，则旋转后的向量在\(\mathbf{b}_{⊥}\)与\(\mathbf{c}\)方向上的投影分别是\(\mathbf{b}_{⊥} \cos \theta\)与\(\mathbf{c} \sin \theta\).
旋转后的向量边上上述向量之和，并且希望写成旋转矩阵的形式（矩阵乘以向量）： \[ \begin{align} b' &= \mathbf{b}_{⊥} \cos \theta +\mathbf{c} \sin \theta + \mathbf{b}_{∥}\\ &= (\mathbf{b} -\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \mathbf{a} )\cos \theta +\mathbf{a} \times \mathbf{b} \sin \theta +\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \mathbf{a}\\ &= \mathbf{a}\mathbf{a}^T \mathbf{b} + (I -\mathbf{a}\mathbf{a}^T)\mathbf{b} \cos \theta + A^* \sin \theta \mathbf{b} \end{align} \]
所以\(R(\mathbf{a},\theta) =\mathbf{a}\mathbf{a}^T+ (I -\mathbf{a}\mathbf{a}^T)\cos \theta + A^* \sin \theta\).
上式是计算机图形学中很重要的一个基础公式。
Note
如果要回到原来的样子，可以对所有的转换求逆。但是要注意的是：\(M = M_1M_2M_3,M^{-1} = M_3^{-1}M_2^{-1}M_1^{-1}\).
齐次坐标转换（Homogeneous Coordinates）
不知道有没有人有这么一个疑问：为什么没有平移？？平移应该是最简单的转换，但是实际起来的实现却没有那么容易。首先做个尝试：
\[ \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ?&?&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x+5\\ y\\ z \end{pmatrix} \] 中间的矩阵怎么做？有人会说将第一行第一列写为\(\frac 5 z\)即可，但是这就失去了转换矩阵的意义。转换矩阵中不应该包含我们要转换的坐标的信息。
计算机图形学中，解决这个问题的方法就说用齐次坐标，先看一下下面的转换：
$$ \[\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ w' \end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix} 1&0&0&5\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix} x+5\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix}\]$$
通过加入一个其次坐标w而实现了平移。而加入这个量不会对上面提到的旋转等操作产生影响，而且他有很多的好处，因此被普遍用于图形相关的软件与硬件中。 #### 平移(Translate) #### $$ \[\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ w' \end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix} 1&0&0&T_x\\ 0&1&0&T_y\\ 0&0&1&T_z\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{p}_x\\ \mathbf{p}_y\\ \mathbf{p}_z\\ 1 \end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix} \mathbf{p}_x+T_x\\ \mathbf{p}_y+T_y\\ \mathbf{p}_z+T_z\\ 1 \end{pmatrix}\]= +T $$ 主要旋转平移矩阵和平移旋转矩阵是不一样的，因为平移矩阵实际上需要的是最右侧的一个向量：
旋转平移矩阵： \[ \begin{bmatrix} R_{3 \times 3}&T_{3 \times 1}\\ 0_{1 \times 3}&1 \end{bmatrix} \]
平移旋转矩阵: \[ \begin{bmatrix} R_{3 \times 3}&R_{3 \times 3}T_{3 \times 1}\\ 0_{1\times 3}&1 \end{bmatrix} \]
仔细推导就可以得到上面的结果。
法向转换（Normal Transformation）
法向的转换并不会按照平面各个点的转换进行。
假如原来的切线向量为\(\mathbf{t}\),原来的法向向量为\(\mathbf{n}\)，转换矩阵为\(M\)，则切线向量是会依照原来的转换而改变的：\(\mathbf{t}' = M\mathbf{t}\).
假设转换完成后的法向向量为\(\mathbf{n}' = Q\mathbf{n}\).
当然不管什么时候，法向与切向都应该是垂直的：\(\mathbf{n}'^T\mathbf{t'} = 0\)
可以得到： \[ \mathbf{n}^TQ^TM \mathbf{t} = 0. \]
因此我们希望\(Q^TM = I\),所以得到：\(Q = (M^{-1})^T\).
当然上面的解并不是唯一解，但是计算机图形学是工程学科，我们希望的是能够解决这个问题即可。
需要注意的是：\(M\)为3×3矩阵。因为法向和切向是向量，所以平移不会影响法向和切向。