图形学——Basic Math
加入了智能成像实验室，但是我对计算机图形学了解还太浅，因此需要学习一些图形学的基础知识。本篇博客先介绍一些很简单的数学基础。
右手坐标系
首先是XYZ坐标轴，一般我们使用的坐标轴是符合右手定则的。这也是大多数数学教材使用的坐标轴的定义。右手定则即用右手从X轴方向握向Y轴方向，这时候伸出大拇指，大拇指的朝向就是Z轴的方向。实际上这是一个很基础的知识，但是我过去没多久才发现自己一直不知道这个东西。直到计算第二型曲面积分时候发现结果总是相反才发现。
向量点乘和叉乘
点乘（Dot Product）
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \vert a \vert \vert b\vert \cos {\theta}\)
\(\theta = \cos ^{-1} \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} }{\vert a \vert \vert b\vert}\)
实际上在笛卡尔坐标系中求解两个向量的点乘是非常容易的：
\(\mathbf{a} = x_a \mathbf{x} + y_a \mathbf{y},\mathbf{b} = x_b \mathbf{x} + y_b \mathbf{y}\)
则：\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_a x_b + y_a y_b\)
因此点乘可以用来求两个向量的夹角。
另一个点乘的应用是求某个向量到另一个向量上的投影，如\(\mathbf{a}\)在\(\mathbf{b}\)上的投影长度实际上是\(\vert \mathbf{a} \vert \cos \theta\)，而\(\vert \mathbf{a} \vert \cos \theta = \frac {\vert \mathbf{b}\vert\vert \mathbf{a} \vert \cos \theta}{\mathbf{b} } = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} }{\vert \mathbf{b}\vert}\).
同样的想要求投影之后的向量也很简单，只要用长度乘上\(\mathbf{b}\)方向的单位向量即可： \(\mathbf{p} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \mathbf{b} }{\vert \mathbf{b}\vert ^2}\).
叉乘（Cross Product）
\(\vert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \vert= \vert \mathbf{a} \vert \vert \mathbf{b}\vert \sin \theta\)
上面为叉乘的长度，除此之外，叉乘得到的是一个向量，它的方向符合右手定则，也与原来两个向量垂直。
从右手定则可以很容易推导出：\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a}\).
同时也有以下的一些等式： \[ \mathbf{x} \times \mathbf{y} = \mathbf{z},\mathbf{y} \times \mathbf{x} = -\mathbf{z} \] \[ \mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0} \] \[ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b}+ \mathbf{a} \times \mathbf{c} \] \[ \mathbf{a} \times (k\mathbf{b}) = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \]
在笛卡尔坐标系下，叉乘的计算也不算困难：
\[ \mathbf{a}\times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{x}&\mathbf{y}&\mathbf{z}\\ x_a&y_a&z_a\\ x_b&y_b&z_b \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} y_az_b - y_bz_a,\\ z_ax_b - x_az_b,\\ x_ay_b - y_ax_b \end{pmatrix} \] 而且也可以写成下面的形式： \[ \mathbf{a}\times \mathbf{b} = A^* \mathbf{b} \begin{pmatrix} 0&-z_a&y_a\\ z_a&0&-x_a\\ -y_a&x_a&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b\\ y_b\\ z_b\\ \end{pmatrix} \]
上式中\(A^*\)被成为向量\(\mathbf{a}\)的对偶矩阵。
坐标系(Coordinate Frames)
坐标系并不是只有XYZ，XYZ只是标识而已。任何满足下面条件的三个向量，都可以作为坐标系：
- \(\vert \mathbf{u} \vert = \vert \mathbf{v} \vert = \vert \mathbf{w} \vert = 1\)
- \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = 0\)
- \(\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}\)
任何一个向量可以写成各个坐标系的投影之和： \[ \mathbf{p} = (\mathbf{p} \cdot \mathbf{u} ) \mathbf{u} + (\mathbf{p} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{v} + (\mathbf{p} \cdot \mathbf{w})\mathbf{w} \]
如何使用两个非零非同方向的向量创造一个坐标系（在三维重建中可能会经常碰到）？ \[ \mathbf{u} = \frac {\mathbf{a} }{ \vert \mathbf{a}\vert},\mathbf{w} = \frac {\mathbf{a} \times \mathbf{b} }{\vert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \vert}, \mathbf{v}= \mathbf{w} \times \mathbf{v}. \]
从上面我们可以看到叉乘对于创建一个坐标系的作用。
矩阵（Matrix）
\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\),因为$ AB B^{-1} A^{-1} = I$.
通过矩阵可以实现空间点的各种转换。